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設函數y=x+
ax+1
，（x≥0）．
（1）當a=2時，求函數f（x）的最小值．
（2）當 0＜a＜1 時，求函數f（x）的最小值．
分析：（1）利用基本不等式即可得出；
（2）利用導數研究函數的單調性即可得出．
解答：解：（1）當a=2時，∵x≥0，∴f(x)=x+1+
2
x+1
-1≥2
(x+1)•
2
x+1
-1=2
2
-1，當且僅當x=
2
-1時取等號．
∴函數f（x）的最小值是2
2
-1．
（2）當 0＜a＜1 時，f′(x)=1-
a
(x+1)2
=
x2+2x+1-a
(x+1)2
＞0，
∴函數f（x）在[0，+∞）上單調遞增，∴當且僅當x=0時f（x）取得最小值f（0）=a．
故函數f（x）的最小值為a．
點評：熟練掌握基本不等式的性質、利用導數研究函數的單調性等是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f(x)=ax-
bx
，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）證明：曲線y=f（x）上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=x+
a
x
有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在(0，
a
]上是減函數，在[
a
，+∞)上是增函數．
（1）如果函數y=x+
2b
x
(x＞0)在（0，4]上是減函數，在[4，+∞）上是增函數，求b的值．
（2）設常數c∈[1，4]，求函數f(x)=x+
c
x
(1≤x≤2)的最大值和最小值；
（3）當n是正整數時，研究函數g(x)=xn+
c
xn
(c＞0)的單調性，并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系：C（x）=
k
3x+5
(0≤x≤10)，若不建隔熱層（即x=0時），每年能源消耗費用為8萬元．設f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．
（1）求k的值；
（2）求f（x）的表達式；
（3）利用“函數y=x+
a
x
（其中a為大于0的常數），在(0，
a
]上是減函數，在[
a
，+∞)上是增函數”這一性質，求隔熱層修建多厚時，總費用f（x）達到最小，并求出這個最小值．

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年河南省高三12月月考理科數學卷 題型：解答題

（本小題12分）設函數y=x+ax+bx+c的圖像，如圖所示，且與y=0在原點相切，若函數的極小值為–4，

（1）求a、b、c的值；       

（2）求函數的遞減區間。

 

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