Question

甲、乙、丙三個同學同時報名參加某重點高校2010年自主招生，高考前自主招生的程序為審核材料和文化測試，只有審核過關才能參加文化測試，文化測試合格者即可獲得自主招生入選資格，文化測試合格者即可獲得自主招生入選資格，因為甲、乙、丙三人各有優勢，甲、乙、丙三人審核過關的概率分別為0.5，0.6，0.4，審核過關后，甲、乙、丙三人文化測試合格的概率分別為0.6，0.5，0.75．
（1）求甲、乙、丙三人中只有一人通過審核的概率；
（2）設甲、乙、丙三人中獲得自主招生入選資格的人數為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學期望

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個相互獨立事件同時發生的概率，甲、乙、丙三人中只有一人通過包括三種情況，這三種情況是互斥的，根據相互獨立事件同時發生的概率寫出每一種情況發生的概率，得到結果．
（2）甲、乙、丙三人中獲得自主招生入選資格的人數為ξ，ξ的可能取值是0，1，2，3，結合變量對應的事件和相互獨立事件同時發生的概率，寫出變量的分布列和期望．

解答：解：（1）由題意知本題是一個相互獨立事件同時發生的概率，
甲、乙、丙三人中只有一人通過包括三種情況，這三種情況是互斥的，
分別記甲、乙、丙通過審核為事件A₁，A₂，A₃，
P(E)=P(A1•

.

A2

•

.

A3

)+P(

.

A1

•A2•

.

A3

)+P(

.

A1

•

.

A2

•A3)
=0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4=0.38
（2）甲、乙、丙三人中獲得自主招生入選資格的人數為ξ，ξ的可能取值是0，1，2，3，
分別記甲、乙、丙獲得自主招生入選資格為事件A，B，C，則
P（A）=P（B）=P（C）=0.3
P（ξ=0）=（1-0.3）³=0.343
P（ξ=1）=3×（1-0.3）²×0.3=0.441
P（ξ=2）=3×0.3²×0.7=0.189
P（ξ=3）=0.3³=0.027
∴ξ的分布列是

∴E（ξ）=1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查互斥事件的概率，考查相互獨立事件同時發生的概率，考查利用概率知識解決實際問題的能力，是一個綜合題目．