Question

已知二次函數同時滿足：①不等式≤0的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在，使得不等式成立，設數列｛｝的前項和．
（1）求函數的表達式；
(2) 設各項均不為0的數列｛｝中，所有滿足的整數的個數稱為這個數列｛｝的變號數，令（）,求數列｛｝的變號數；　
（3）設數列｛｝滿足：，試探究數列｛｝是否存在最小項？若存在，求出該項，若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）   (2) ３

（１）∵不等式≤0的解集有且只有一個元素
∴　解得或----------2分
當時函數在遞增，不滿足條件②
當時函數在（０，２）上遞減，滿足條件②
綜上得，即----------4分
（２）由（１）知
當時，，當≥２時＝＝
∴-------6分由題設可得----7分
∵，，∴，都滿足
∵當≥３時，
即當≥３時，數列｛｝遞增，∵，由，可知滿足∴數列｛｝的變號數為３。-----9分
（３）∵＝,　由（２）可得：
--------------11分
＝＝-------13分
∵當時數列｛｝遞增，∴當時，最小, 又∵，
∴數列｛｝存在最小項------14分
〔或∵＝,由（２）可得：
-----11分
＝
對于函數　∵
∴函數在上為增函數，∴當時數列｛｝遞增，
∴當時，最小，---13分
又∵，　∴數列｛｝存在最小項---------14分〕