Question

已知函數與為常數）的圖象關于直線x=1對稱，

且x=1是的一個極值點.

      （1）求出函數的表達式和單調區間；

      （2）若已知當時，不等式恒成立，

求m的取值范圍. （注：若）。

Answer 1

解析：

   （Ⅰ）設是函數f(x)的圖象上任意一點，則易求得P點關于直線x=1的對稱點為

       ，依題意知點在y=g(x)的圖象上，

       ∴y=aln(2-x)-(2-x)²

       ∴f(x)=aln(2-x)-(2-x)²                                                                                     ?????????????????2分

       ∴

       ∵x=1是f(x)的一個極值點，∴

       ∴a=2                                                                                     ?????????????????3分

       ∴f(x)的表達式是f(x)=2ln(2-x)-(2-x)²，（x＜2）                      ?????????????????4分

       ∴

       ∵f(x)定義域是（―∞，2），∴只有x=1是f(x)的極值點

       又當x＜1時，＞0

       當1＜x＜2時，＜0                                                      ??????????????????5分

       ∴f(x)的單調遞增區間是（―∞，1），單調遞減區間是（1，2）??????????????????6分

   （寫出也對）

   （Ⅱ）由＜0

       得＜―，                                              ??????????????????7分

       ∴+＜m＜-                            ?????????????????8分

       ∴＜m＜在x∈[-2，-1]時恒成立             ?????????????????9分

       故只需求出在x∈[-2，-1]時的最大值和在x∈[-2，-1]時的最小值，

       即可求得m的取值范圍。                                                       ????????????????10分

       當x∈[-2，-1]時

       ∵=ln≤ln                     ????????????????12分

       =≥              ????????????????13分

       ∴m的取值范圍是（0，）