Question

已知x＞0，函數f(x)=lnx-

ax

x+1

（1）當a≥0時，討論函數f（x）的單調性；
（2）當f（x）有兩個極值點（設為x₁和x₂）時，求證：f(x1)+f(x2)≥

x+1

x

•[f(x)-x+1]．

Answer 1

分析：（1）先求出函數的定義域，然后求出導函數，設g（x）=x²-（a-2）x+1，二次方程g（x）=0的判別式△=a²-4a，然后討論△的正負，再進一步考慮導函數的符號，從而求出函數的單調區間；
（2）對f（x）求導數，由f′（x）=0有兩個不同的根x₁，x₂，利用判別式和根與系數的關系得到x₁x₂=1，由x₁、x₂的關系，則f（x₁）+f（x₂）=-a，又由-a=

x+1

x

•[f(x)-lnx]，將問題轉化為lnx≤x-1即可，令g（x）=lnx-x+1，利用導數求出g（x）的最大值即得證．

解答：解：（1）∵f′(x)=

1

x

-

a

(x+1)2

=

x2-(a-2)x+1

x(x+1)2

，
x＞0，設g（x）=x²-（a-2）x+1
當△=a²-4a≤0，即0≤a≤4時，在（0，+∞）上，f′（x）≥0恒成立，
此時f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當△=a²-4a＞0，即a＞4時，方程x²-（a-2）x+1=0有兩個解不相等的實數根：
x1=

(a-2)- (a-2)2-4

2

，x2=

(a-2)+ (a-2)2-4

2

，顯然0＜x₁＜x₂，
∵當x∈（0，x₁）或x∈（x₂，+∞）時，f′（x）＞0；
當x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＜0；
∴函數f（x）在(

a-2- a2-4a

2

，

a-2+ a2-4a

2

)上單調遞減，
在(0，

a-2- a2-4a

2

)和(

a-2+ a2-4a

2

，+∞)上單調遞增．
（2）∵x₁，x₂是f（x）的兩個極值點，
故滿足方程f′（x）=0，
即x₁，x₂是x²-（a-2）x+1=0的兩個解，
∴x₁x₂=1，
∵f(x1)+f(x2)=lnx1-

ax1

x1+1

+lnx2-

ax2

x2+1

=ln(x1x2)-

a(2x1x2+x1+x2)

x1x2+x1+x2+1

=-a
而在f(x)=lnx-

ax

x+1

中，-a=

x+1

x

•[f(x)-lnx]
因此，要證明f(x1)+f(x2)≥

x+1

x

•[f(x)-x+1]，
等價于證明

x+1

x

•[f(x)-lnx]≥

x+1

x

•[f(x)-x+1]
注意到x＞0，只需證明f（x）-lnx≥f（x）-x+1
即證lnx≤x-1
令g（x）=lnx-x+1，則g′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，
當x∈（0，1）時，g'（x）＞0，函數g（x）在（0，1）上單調遞增；
當x∈（1，+∞）時，g'（x）＜0，函數g（x）在（1，+∞）上單調遞減；
因此g（x）_max=g（1）=ln1-x+1=0，從而g（x）≤0，即lnx≤x-1，原不等式得證．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，同時考查了轉化的能力和分類討論的數學思想，屬于難題．