Question

在下列各命題中:
①|a+b|－|a－b|≤2|b|；
②a、b∈R⁺,且x≠0,則|ax+|≥2；
③若|x－y|<ε,則|x|<|y|+ε；
④當且僅當ab<0或ab=0時,|a|－|b|≤|a+b|中的等號成立.
其中真命題的序號為__________.
本題主要考查絕對值不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的應用.

Answer 1

①②③

∵|a+b|－|a－b|≤|(a+b)－(a－b)|=|2b|=2|b|,
∴①是真命題.
∵a、b∈R⁺,x≠0,∴ax與同號.
∴|ax+|=|ax|+||≥2=2.
∴②是真命題.
∵|x－y|<ε,∴|x|－|y|≤|x－y|<ε.
∴|x|－|y|<ε.
移項得|x|<|y|+ε,∴③是真命題.
當a=－1,b=2時,有ab<0.
|a|－|b|=1－2=－1,|a+b|=|－1+2|=1,則此時|a|－|b|≠|a+b|.
∴④是假命題.
∴真命題的序號為①②③.