若數列
的前
項和為
，對任意正整數都有
，記
．
（1）求
,
的值；
（2）求數列
的通項公式；
（3）若
求證：對任意
．
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設數列{an} 的前n項和為Sn，滿足2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差數列．
（1）求a1，a2，a3的值；
（2）求證：數列{an+2n}是等比數列；
（3）證明：對一切正整數n，有
+
+…+
＜
．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知數列
的首項
其中
，
令集合
.
（Ⅰ）若
，寫出集合
中的所有的元素；
（Ⅱ）若
，且數列中恰好存在連續的7項構成等比數列，求
的所有可能取值構成的集合；
（Ⅲ）求證：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知正項數列
的前
項和為
，
是
與
的等比中項.
（1）求證：數列是等差數列；
（2）若
，且
，求數列
的通項公式；
（3）在（2）的條件下，若
，求數列
的前項和
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知數列
中，
，前
和
（Ⅰ）求證：數列是等差數列； （Ⅱ）求數列的通項公式；
（Ⅲ）設數列
的前項和為
，是否存在實數
，使得
對一切正整數都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知無窮數列
中，
、
、
、
構成首項為2，公差為－2的等差數列，
、
、、
，構成首項為
，公比為的等比數列，其中
，
.
（1）當
，，時，求數列的通項公式；
（2）若對任意的
，都有
成立．
①當
時，求
的值；
②記數列的前
項和為
．判斷是否存在，使得
成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
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；（2）
；（3）見試題解析．
可求得
的值；（2）利用
的關系式，先求
,再利用裂項相消法求和
，進而可證明不等式．
，得
，解得
． 1分
，得
，解得
． 3分
時，有
②， 4分
， ５分
數列
的等比數列 ６分
， ７分
． ８分
，
， (1)
， (2)
，
， (
) ９分
， 10分
， 11分 
， 12分
， 13分
， 
對任意
均成立． 14分
滿足：
，
，
．
項和
；
是等差數列，
為前
，
.求
的通項公式，并證明：
．
滿足
．
，
，
，
，由此猜想通項公式
，并用數學歸納法證明此猜想；
滿足
，求證：
．
，求證：
；
，寫出
并猜想這個數列的通項公式達式.