Question

給出下列四個命題，其中錯誤的命題有（　　）個．
（1）將函數y=sin(2x+

π

3

)的圖象向右平移

π

3

個單位，得到函數y=sin2x的圖象；
（2）函數y=sin2x+cos2x在x∈[0，

π

2

]上的單調遞增區間是[0，

π

8

]；
（3）設A、B、C∈(0，

π

2

)且sinA-sinC=sinB，cosA+cosC=cosB，則B-A等于-

π

3

；
（4）方程sin²x+2sinx+a=0有解，則a的取值范圍是[-3，1]．
（5）在同一坐標系中，函數y=sinx與函數y=

x

2

的圖象有三個交點．

A．3

B．2

C．1

D．0

Answer 1

分析：（1）根據函數的左加右減的原則即可求解平移后的函數解析式
（2）由y=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)，結合正弦函數的性質可求函數的單調區間
（3）由sinA-sinC=sinB，cosA+cosC=cosB，可得sinC=sinA-sinB，cosC=cosB-cosA，兩邊同時平方相加可求cos（B-A）=

1

2

結合sinA-sinC=sinB＞0可得A＞B，可求
（4）sin²x+2sinx=（sinx+1）²-1，結合正弦函數與二次函數的性質可求函數的值域，進而可求a的范圍
（5）由于x=0時，兩函數相交，當0＜x≤2時，有一個交點，當-2≤x＜0時，，有一個交點，當x＞2或x＜-2時兩函數的圖象沒有交點，可判斷

解答：解：（1）將函數y=sin(2x+

π

3

)的圖象向右平移

π

3

個單位，得到函數y=sin（2x-

1

3

π）的圖象；故（1）錯誤
（2）∵y=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)
令-

1

2

π≤2x+

π

4

≤

1

2

π可得，-

3π

8

≤x≤

π

8

∴函數y=sin2x+cos2x在x∈[0，

π

2

]上的單調遞增區間是[0，

π

8

]；（2）正確
（3）由sinA-sinC=sinB，cosA+cosC=cosB，可得sinC=sinA-sinB，cosC=cosB-cosA，
兩邊同時平方相加可得1=2-2（cosAcosB+sinAsinB）=2-2cos（A-B）
∴cos（B-A）=

1

2

∵sinA-sinC=sinB＞0
∴sinA＞sinB
∴A＞B
∴B-A=

π

3

（3）正確
（4）∵sin²x+2sinx=（sinx+1）²-1∈[-1，3]
∵sin²x+2sinx+a=0有解，
-1≤-a≤3
∴-3≤a≤1
則a的取值范圍是[-3，1]，（4）正確
（5）由于x=0時，兩函數相交，
當0＜x≤2時，函數y=sinx與函數y=

x

2

的圖象有一個交點，
當-2≤x＜0時，，函數y=sinx與函數y=

x

2

的圖象有一個交點，
當x＞2或x＜-2時，|

x

2

|＞1，而sinx≤1，兩函數的圖象沒有交點，即有3個交點，（5）正確
即錯誤的命題有1個
故選A

點評：本題主要考查了命題的真假關系的判斷，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，此類問題的具有一定的綜合性