Question

（2013•江蘇一模）若對于給定的正實數k，函數f(x)=

k

x

的圖象上總存在點C，使得以C為圓心，1為半徑的圓上有兩個不同的點到原點O的距離為2，則k的取值范圍是

（0，

9

2

）

．

Answer 1

分析：根據題意得：以C為圓心，1為半徑的圓與原點為圓心，2為半徑的圓有兩個交點，即C到原點距離小于3，即f（x）的圖象上離原點最近的點到原點的距離小于3，設出C坐標，利用兩點間的距離公式表示出C到原點的距離，利用基本不等式求出距離的最小值，讓最小值小于3列出關于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范圍．

解答：解：根據題意得：|OC|＜1+2=3，
設C（x，

k

x

），
∵|OC|=

x2+ k2 x2

≥

2k

，
∴

2k

＜3，即0＜k＜

9

2

，
則k的范圍為（0，

9

2

）．
故答案為：（0，

9

2

）

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：圓與圓位置關系的判定，基本不等式的運用，以及兩點間的距離公式，解題的關鍵是根據題意得出以C為圓心，1為半徑的圓與原點為圓心，2為半徑的圓有兩個交點，即C到原點距離小于3．