Question

已知函數f（x）=ax 3-

3

2

x2+1(x∈R)，其中a＞0．
（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）當a≠0時，求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，求出函數的解析式及導函數的解析式，代入x=2，可得切點坐標和切線的斜率（導函數值），進而可得直線的點斜式方程．
（2）解方程f′（x）=0，由a＞0可得x=

1

a

，討論f′（x）在各區間上的符號，進而由導函數符號與原函數單調區間的關系得到答案．

解答：解：（1）當a=1時，函數f（x）=x 3-

3

2

x2+1(x∈R)，
∴f′（x）=3x²-3x，
∴f（2）=3，即切點坐標為（2，3）
f′（2）=6，即切線的方程為6
故曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-3=6（x-2），即6x-y-9=0
（2）∵f（x）=ax 3-

3

2

x2+1(x∈R)，
∴f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1），
令f′（x）=0，則x=0，或x=

1

a

∵a＞0，即

1

a

＞0，
∵當x∈（-∞，0）∪（

1

a

，+∞）時，f′（x）＞0；當x∈（0，

1

a

）時，f′（x）＜0；
∴函數y=f（x）的單調遞增區間為（-∞，0），（

1

a

，+∞），單調遞減區間為（0，

1

a

）

點評：本題考查的知識點是利用導數研究曲線上某點的切線方程，利用導數研究函數的單調性，是導數的綜合應用，難度中檔．