Question

已知甲乙二人射擊的命中率分別為

1

2

和

3

4

，現在兩人各備3發子彈對同一目標進行射擊，射擊規則如下：①通過投擲一枚均勻硬幣來決定誰先射擊；②如果射中，就接著射，如果射不中，就換另一人射；③目標被命中3槍或子彈用光就結束射擊（當一人用光，但目標中彈不到3次時，另一人可連續射擊，直到目標被命中3次或子彈用光為止）．求：
（1）兩人都有機會射擊的概率；
（2）恰好用4槍結束射擊的概率．

Answer 1

分析：（1）分兩種情況討論，①甲先射擊且給乙留下機會，②乙先射擊且給甲留下機會，由相互獨立事件的概率乘法公式計算可得每種情況的概率，進而將其相加可得答案；
（2）記“甲射擊一次命中”為事件A，“乙射擊一次命中”為事件B，則P（A）=

1

2

，P（B）=

3

4

，進而分析可得，恰好用4槍結束射擊，甲先射擊時包含

.

A

BBB，A

.

A

BB，AA

.

A

B三種情況，乙先射擊時包含

.

B

AAA，B

.

B

AA，BB

.

B

A三種情況；由相互獨立事件的概率乘法公式計算可得每種情況的概率，進而將其相加可得答案．

解答：解：（1）甲先射擊且給乙留下機會的概率為

1

2

×(1-

1

23

)=

7

16

，
乙先射擊且給甲留下機會的概率為

1

2

×[1-(

3

4

)3]=

37

128

，
兩人都有機會射擊的概率為P₁=

7

16

+

37

128

=

93

128

；
（2）記“甲射擊一次命中”為事件A，“乙射擊一次命中”為事件B，則P（A）=

1

2

，P（B）=

3

4

．
4槍結束射擊的概率P₂=

1

2

P(

.

A

BBB+A

.

A

BB+AA

.

A

B)+

1

2

P(

.

B

AAA+B

.

B

AA+BB

.

B

A)
=

1

2

(

1

2

×

33

43

+

1

22

×

32

42

+

1

23

×

3

4

)+

1

2

(

1

4

×

1

23

+

3

4

×

1

4

×

1

22

+

32

42

×

1

4

×

1

2

)
=

19

64

．

點評：本題考查相互獨立事件的概率的乘法公式與互斥事件概率的加法公式的運用，注意根據題意，全面分析事件可能的情況．