Question

15、設函數f（x），g（x）的定義域分別為D_J，D_E．且D_J?D_E，若對于任意x∈D_J，都有g（x）=f（x），則稱函數g（x）為f（x）在D_E上的一個延拓函數．設f（x）=xlnx（x＞0），g（x）為f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的一個延拓函數，且g（x）是奇函數，則g（x）=

xln|x|

；設f（x）=2^x-1（x≤0），g（x）為f（x）在R上的一個延拓函數，且g（x）是偶函數，則g（x）=

2^-|x|-1

．

Answer 1

分析：利用題目提供的信息，可得g（x）在D_J上的解析式，然后通過函數的奇偶性可求得其在對稱區間上解析式，綜合結論即可得答案．

解答：解：∵若f（x）=xlnx（x＞0），g（x）為f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的一個延拓函數
∴當x＞0時，g（x）=f（x）=xlnx    又∵g（x）是奇函數∴當x＜0時，-x＞0∴f（-x）=（-x）ln（-x）=-xln（-x）=-f（x）
∴f（x）=xln（-x），x＜0  綜上當x∈（-∞，0）∪（0，+∞）時，f（x）=xln|x|
若f（x）=2^x-1（x≤0），g（x）為f（x）在R上的一個延拓函數∴當x≤0時，g（x）=f（x）=2^x-1∵g（x）是偶函數
∴當x＞0時，-x＜0∴g（-x）=g（x）=2^-x-1  x＞0    綜上g（x）=2^-|x|-1
故答案為：xln|x；|2^-|x|-1

點評：本題是個新定義題，主要考查利用函數奇偶性求函數解析式的方法，在解題時注意對于新定義的理解，是個中檔題．