Question

點P是圓上的一個動點，過點P作PD垂直于軸，垂足為D，Q為線段PD的中點。

（1）求點Q的軌跡方程。

（2）已知點M（1，1）為上述所求方程的圖形內一點，過點M作弦AB，若點M恰為弦AB的中點，求直線AB的方程。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2） 

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設Q（x，y），P（x₀，y₀），則D（x₀，0），由Q為線段PD的中點，知x₀=x， y₀=2y，由P（x₀，y₀）在圓x²+y²=16上，知x₀²+y₀²=16，由此能求出點Q的軌跡方程．

（Ⅱ）設直線AB的方程為y-1=k（x-1）．由y=k(x-1)+1 ，，得（1+4k²）x+8k（1-k）x+4（1-k）²-16=0，設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，x₁+x₂= ，而M（1，1）是AB中點，則 =1，由此能求出直線方程．

（1）設Q()  P() 則D()   即

   即為所求。                                                   …………4分

（2）法1：依題意顯然的斜率存在，設直線AB的斜率為k，則AB的方程可設為。

由   得         

得                   …………7分

                          …………10分

            …………12分

 法2：（直接求k）：設A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)。

            …………6分

         …………8分

      …………10分

    …………12分

考點：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．

點評：解決該試題的關鍵是體現了解析幾何中設而不求的解題思想，聯立方程組，，轉化為二次方程的根的問題，結合韋達定理得到。