Question

已知數列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n項和滿足：S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3），令。
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若f（x）=2x-1，求證：；
（3）令（a>0），問是否存在正實數a同時滿足下列兩個條件？
①對任意n∈N₊，都有；
②對任意的m∈（0，），均存在n₀∈N，使得當n≥n₀時總有A_n>m，若存在，求出所有的a，若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）由得，
即，移項得，
∴，這個n-2等式疊加可得，

又a₂=5，
∴，經驗證也適合該式，故；
（2）由（1）知，
又，
∴
，
故，
得證；
（3）由a>0且根據第（2）問的啟示，下面a對分三種情況討論：
1）當a=2時，由（2）知，滿足條件①，
另一方面，假設存在，使得當時成立，
即成立，由此解得，設的整數部分為A，
取，則當時必有成立，滿足條件②，故a=2時符合題意；
2）當a>2時，，由a>2得，
∴（當n=1時取“=”），
∴，
∴，
令，由（2）知，當時，
∴，
又a>2，
∴，在區間內取一個實數B，必存在一個，使得，這時已不滿足條件①，
故a>2時不符合題意，
3）當0<a<2時，
，
∴，
由2）知，即，
而此時，
∴，在區間內取一個實數C，這時不存在使得，否則與矛盾，此時不滿足條件②，
故0<a<2時不符合題意，
綜合1）， 2）， 3）可知，存在正實數a=2符合題意。