Question

點P是曲線x²-y-lnx=0上的任意一點，則點P到直線y=x-2的最小距離為（　　）

• A、1
• B、

  3

  2

• C、

  5

  2

• D、

  2

Answer 1

分析：由題意知，當曲線上過點P的切線和直線y=x-2平行時，點P到直線y=x-2的距離最小，求出曲線對應的函數的導數，令導數值等于1，可得且點的坐標，此切點到直線y=x-2的距離即為所求．

解答：解：點P是曲線y=x²-lnx上任意一點，
當過點P的切線和直線y=x-2平行時，
點P到直線y=x-2的距離最小．
直線y=x-2的斜率等于1，
令y=x²-lnx的導數 y′=2x-

1

x

=1，x=1，或 x=-

1

2

（舍去），
故曲線y=x²-lnx上和直線y=x-2平行的切線經過的切點坐標（1，1），
點（1，1）到直線y=x-2的距離等于

2

，
故點P到直線y=x-2的最小距離為

2

，
故選D．

點評：本題考查點到直線的距離公式的應用，函數的導數的求法及導數的意義，體現了轉化的數學思想．