Question

（本小題滿分14分）若，，，為常
數，且
（Ⅰ）求對所有實數成立的充要條件（用表示）；
（Ⅱ）設為兩實數，且,若
求證：在區間上的單調增區間的長度和為（閉區間的長度定義為）．

Answer 1

解：（Ⅰ）恒成立
;
（*）
因為,
所以，故只需（*）恒成立.
綜上所述，對所有實數成立的充要條件是.   ………4分 
（Ⅱ）1°如果，則的圖象關于直線對稱．因為，所以區間關于直線 對稱．
因為減區間為，增區間為，所以單調增區間的長度和為.   ………6分
2°如果.
（1）當時.，
當，因為，所以，故=.
當，因為，所以，故=.
因為，所以，所以即
.
當時，令，則，所以，
當時，，所以=;
時，，所以=.
在區間上的單調增區間的長度和
=.                        …………10分
（2）當時.，
當，因為，所以，故=.
當，因為，所以，故=.
因為，所以，所以.
當時，令，則，所以，
當時， ，所以=;
時，，所以=;
在區間上的單調增區間的長度和
=.
綜上得在區間上的單調增區間的長度和為.        …………14分

略