Question

如圖，已知M(-3m，0)，(m＞0)，N、P兩點分別在y軸和x軸上運動，并且滿足=0，=

(Ⅰ)求動點Q的軌跡方程；

(Ⅱ)若正方體ABCD的三個頂點A、B、C在點Q的軌跡上，求正方形ABCD面積的最小值.

Answer 1

解：(Ⅰ)設Q(x，y)，因為=，所以N(0，)，

又M(-3m，0)，所以=(3m，)，=(x，)，

由已知·=0，則3mx-y²=0，y²=4mx．

即Q點軌跡方程為y²=4mx．

(Ⅱ)如圖，不妨設正方形在拋物線上的三個頂點中A、B在x軸的下方(包括x軸)，記A、B、C的坐標分別為(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，(x₃，y₃)，其中y₃＞0≥y₂＞y₁

并設直線AB的斜率為k(k＜0)

則有①

又因為A、B、C在拋物線y²=4mx上，故有

x₁=,x₂=,x₃=代入①式得

y₁=-y₂,y₃=-4mk-y₂②

∵|AB|=|BC|

即

∴(y₂- y₁)=(y₃-y₂)

∴(y₂-y₁)=-k(y₃-y₂)將②代入可得：

y₂-+y₂=-k(-4mk-2y₂)

即-4mk²-=-2(-k+1)y₂，得y₂=

正方形的邊長為

|AB|=(y₃-y₂)=(-4mk-2y₂)

=(-4mk-)

=4m[-k-]

=4m

易知≥2，≥

所以4m≥4m

所以正方形ABCD面積的最小值為32m²．