Question

從如圖所示的圓O：x²+y²=2內任取-個點M（x，y），則點M取自陰影部分的概率為

1

2

-

1

3π

．

Answer 1

分析：先求出兩個曲線的交點坐標，然后利用積分求出陰影部分的面積，最后利用幾何概型的公式求概率．

解答：解：由

x2+y2=2 y=x2

，解得x=1或x=-1．圓在第一和第二象限的曲線方程為y=

2-x2

．
則所求陰影部分的面積為

∫

1 -1

(

2-x2

-x2)dx=

∫

1 -1

2-x2

dx-

∫

1 -1

x2dx．
因為

∫

1 -1

2-x2

dx表示半圓的面積，所以

∫

1 -1

2-x2

dx=

1

2

×π(

2

)2=π，而

∫

1 -1

x2dx=

1

3

x3

|

1 -1

=

2

3

．
所以陰影部分的面積為π-

2

3

．
所以點M取自陰影部分的概率為

π- 2 3

π×( 2 )2

=

π- 2 3

2π

=

1

2

-

1

3π

．
故答案為：

1

2

-

1

3π

．

點評：本題主要考查了幾何概型以及利用積分求面積，要求熟練掌握幾何概型的概率公式以及定積分公式．