Question

如圖，在正三棱錐P-ABC中，M、N分別是側棱PB、PC的中點，若截面AMN⊥側面PBC，則此三棱錐的側棱與底面所成角的正切值是．

• A．

  3

  2

• B．

  2

• C．

  5

  2

• D．

  6

  3

Answer 1

分析：如圖，設D為BC中點，則 PD⊥BC，PD⊥MN，垂足為E，E為MN中點．又面AMN⊥面PBC，則 PE⊥面AMN，PE⊥AE．設底面邊長為2，側棱長為a，通過解三角形的方法，解得a=

3

，設O為底面△ABC中心，連接OB，則∠PBO為三棱錐的側棱PB與底面所成角，在△POB中求出 tan∠PBO．

解答：解：如圖，設D為BC中點，則 PD⊥BC，PD⊥MN，垂足為E，E為MN中點．又面AMN⊥面PBC，則 PE⊥面AMN，PE⊥AE．
設底面邊長為2，側棱長為a，在△PBC中，PD²=a²-1，PE²=

1

4

PD²=

a2-1

4

，ME=

1

2

MN=

1

2

．
在△PAB中，由余弦定理，cos∠APB=

PA2+PB2-AB2

2PB×PA

=

PA2+PM2-AM2

2PM×PA

，代入數據化簡得

a2-2

a2

=

5 4 a2-AM2

a2

，AM²=

a2

4

+2，
在△PAE中，由勾股定理，得出 PA²=AE²+PE²=AM²-ME²+PE²，即a²=

a2

4

+2-

1

4

+

a2-1

4

，解得a²=3，a=

3

設O為底面△ABC中心，連接OB，則∠PBO為三棱錐的側棱PB與底面所成角，
在△POB中，BO=

2 3

3

，由勾股定理，PO²=PB²-BO²=

5

3

，PO=

15

3

，所以tan∠PBO=

PO

BO

=

5

2

，
三棱錐的側棱與底面所成角的正切值是

5

2

．
故選C．

點評：本題考查線面角的計算，線面垂直，面面垂直的定義，性質、判定，考查了空間想象能力、計算能力，分析解決問題能力．空間問題平面化是解決空間幾何體問題最主要的思想方法．