Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

5

，且過點P（4，

12

5

），A為上頂點，F為右焦點．點Q（0，t）是線段OA（除端點外）上的一個動點，過Q作平行于x軸的直線交直線AP于點M，以QM為直徑的圓的圓心為N．
（1）求橢圓方程；
（2）若圓N與x軸相切，求圓N的方程；
（3）設點R為圓N上的動點，點R到直線PF的最大距離為d，求d的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由e=

3

5

，不妨設c=3k，a=5k，則b=4k，其中k＞0，從而可得橢圓方程，把點P坐標代入橢圓方程即可求得k值，進而得橢圓方程；
（2）由點斜式可得直線AP的方程為y=-

2

5

x+4，通過解方程可得M，N坐標，圓N與x軸相切可得半徑為t，從而可求得t值，進而可求得圓N方程；
（3）點R到直線PF的最大距離為d等于圓心N到直線PF的距離加上半徑，根據d的表達式分類討論即可求得其范圍；

解答：解：（1）∵e=

3

5

，不妨設c=3k，a=5k，則b=4k，其中k＞0，故橢圓方程為

x2

25k2

+

y2

16k2

=1(a＞b＞0)，
∵P（4，

12

5

）在橢圓上，∴

42

25k2

+

( 12 5 )2

16k2

=1，解得k=1，
∴橢圓方程為

x2

25

+

y2

16

=1；
（2）K_AP=

12 5 -4

4

=-

2

5

，則直線AP的方程為y=-

2

5

x+4，
令y=t（0＜t＜4），則x=

5

2

（4-t），∴M（

5(4-t)

2

，t），∵Q（0，t）∴N（

5(4-t)

4

，t），
∵圓N與x軸相切，∴

5(4-t)

4

=t，由題意M為第一象限的點，則由

5(4-t)

4

=t，解得t=

20

9

，
∴N（

20

9

，

20

9

），
∴圓N的方程為(x-

20

9

)2+(y-

20

9

)2=

400

81

；
（3）F（3，0），k_PF=

12

5

，∴直線PF的方程為y=

12

5

（x-3），即12x-5y-36=0，
∴點N到直線PF的距離為|

15(4-t)-5t-36

13

|=|

24-20t

13

|=

4

13

|6-5t|，
∴d=

4

13

|6-5t|+

5

4

（4-t），∵0＜t＜4，
∴當0＜t≤

6

5

時，d=

4

13

(6-5t)+

5

4

(4-t)=

356-145t

52

，此時

7

2

≤d＜

89

13

，
當

6

5

＜t＜4時，d=

4

13

（5t-6）+

5

4

（4-t）=

164+15t

52

，此時

7

2

＜d＜

56

13

，
∴綜上，d的取值范圍為[

7

2

，

89

13

）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及橢圓標準方程的求解，考查分類討論思想，考查學生分析解決問題的能力，熟練求解直線方程、熟記點到直線的距離公式等是解決相關問題的基礎．