Question

（本小題滿分12分）
如圖，在長方體中，，為的中點，為的中點。
（1）證明：；
（2）求與平面所成角的正弦值。

Answer 1

 , 

方法一：（1）根據已知在長方體，
在中， ，（3分）
同理可求，，（理3分，文4分）
∴，∴，即。（6分）

（2）設點到平面的距離為，連結，則 ，
∴，（8分）
而，在中，，（10分）
，所以，∴，
即點到平面的距離為，
故與平面所成角的正弦值為．（12分）
方法2：（1）以點為原點，分別以為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，（2分）

依題意，可得 。（4分）
∴，
，
∴ ，
即，∴。（6分）
（2）設，且平面，則
 ，即，
∴解得，
取，得，所以與平面所成角的正弦值為
。（12分）