Question

已知函數f(x)=

1

2

x2-lnx，g（x）=2x³-9x²+12x-3．
（1）求函數y=f（x）的單調區間；
（2）若關于x的方程g（x）=k有三個零點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導數，由導數的正負，可得函數y=f（x）的單調區間；
（2）求導數，確定函數的單調區間，可得函數的極值，利用關于x的方程g（x）=k有三個零點時g（x）_極小值＜k＜g（x）_極大值，即可求實數k的取值范圍．

解答：解：（1）求導數可得f′(x)=x-

1

x

=

(x+1)(x-1)

x

（x＞0）
令f′（x）＞0，x＞0，可得x＞1；令f′（x）＜0，x＞0，可得0＜x＜1，
∴函數的單調增區間是（1，+∞），單調減區間是（0，1）；
（2）g′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
令g′（x）＞0，可得x＜1或x＞2；令g′（x）＜0，可得1＜x＜2，
∴函數g（x）的單調增區間是（-∞，1），（2，+∞）；單調減區間是（1，2）
∴函數g（x）在x=1處取得極大值2，在x=2處取得極小值1
∵關于x的方程g（x）=k有三個零點
∴g（x）_極小值＜k＜g（x）_極大值
∴1＜k＜2．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的極值，考查函數的零點，確定函數的極值是關鍵．