Question

.（本小題滿分12分）在△ABC中，∠C = 90^o ,BC = 1.以A為圓心，AC為半徑畫弧交AB于D，在由弧CD與直線段BD、BC所圍成的范圍內(nèi)作內(nèi)接正方形EFGH（如圖）。設(shè)AC = x，EF = y ，（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）正方形EFGH的面積是否有最大值？試證明你的結(jié)論。

Answer 1

（1）  （2）略

解析:

（本題滿分12分）

（1）延長FE與AB交于點(diǎn)P，則∵EP//BC，∴∽，

∴，即，∴， …………2分

在直角三角形AEP中，，，，

由勾股定理，得  （*）即。……6分

∵  ∴（*）式成立的充要條件是，

所以y與x的函數(shù)關(guān)系式為，        ……8分

（2）因?yàn)?img width=351 height=65 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/149/400149.gif">，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得10分   所以正方形的面積當(dāng)時(shí)取得最大值12分

       若由得,

       所以即，

       等式右端分子有理化，得

       ∴∵∴，

整理，得與的函數(shù)關(guān)系式為（）