Question

已知a為給定的正實數，m為實數，函數f (x)＝ax³－3(m＋a)x²＋12mx＋1．

(Ⅰ)若f(x)在(0，3)上無極值點，求m的值；

(Ⅱ)若存在x₀∈(0，3)，使得f(x₀)是f(x)在[0，3]上的最值，求m的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)a；(Ⅱ)m≤或m≥．

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 求原函數的導函數，則導函數恒大于等于0，即可得所求；(Ⅱ)由(Ⅰ)知導函數時等于0，則為函數的極值，要使有最值，再看導函數為0時的另外一個根的范圍，然后分情況討論：①時，顯然為最值；②時，先求(0，3)上的極值，然后再與端點函數值比較滿足題意求m；③時，先求(0，3)上的極值，然后再與端點函數值比較滿足題意求m，綜合①②③可得m的取值范圍．

試題解析：(Ⅰ)由題意得f′(x)＝3ax²－6(m＋a)x＋12m＝3(x－2)(ax－2m)，

由于f(x)在(0，3)上無極值點，故＝2，所以m＝a．                         5分

(Ⅱ)由于f′(x)＝3(x－2)(ax－2m)，故

(i)當≤0或≥3，即m≤0或m≥a時，

取x₀＝2即滿足題意．此時m≤0或m≥a．

(ii)當0＜＜2，即0＜m＜a時，列表如下:

x	0	(0，)		(，2)	2	(2，3)	3
f ′(x)		＋	0	－	0	＋
f (x)	1	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增	9m＋1

故f(2)≤f(0)或f()≥f(3)，

即－4a＋12m＋1≤1或＋1≥9m＋1，

即3m≤a或≥0，

即m≤或m≤0或m＝．此時0＜m≤．

(iii)當2＜＜3，即a＜m＜時，列表如下:

x	0	(0，2)	2	(2，)		(，3)	3
f ′(x)		＋	0	－	0	＋
f(x)	1	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增	9m＋1

故f()≤f(0)或f(2)≥f(3)，

即＋1≤1或－4a＋12m＋1≥9m＋1，

即≤0或3m≥4a，

即m＝0或m≥3a或m≥．

此時≤m＜．

綜上所述,實數m的取值范圍是m≤或m≥．               14分

考點：1、導函數的性質；2、利用導函數求極值；3、分類討論法.