Question

（本小題滿分12分）已知數列的前項和為，
（1）若為等差數列，證明為等差數列；
（2）在（1）的條件下，，求數列的前項和；
（3）在（1）（2）的條件下，若存在實數使得對一切,有成立，求的最小值.

Answer 1

（1）略  
（2）,,
（3）設
由得，

本試題主要是考查了數列的通項公式和前n項和的關系式的運用。結合等差數列的定義，證明結論和分析通項公式的特點，合理選用求和公式的運用。以及構造函數的思想，借助于函數的單調性，證明不等式。
（1）中利用為等差數列，得到關系式，然后將前n項和與通項公式的關系互化，可以證明為等差數列。
（2）在第一問的基礎上可以得到數列的通項公式，進而得到前n項和的求解。
（3）要證明不等式成立，只要構造函數，利用函數的單調性得到f(n)的最值然后求解得到參數的取值范圍。