Question

已知是定義在實數集上的奇函數，且當時，

（1）求函數在上的解析式；

（2）判斷在上的單調性并證明；

（3）對于任意,不等式恒成立,求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】(1)當x∈(－,0), 則－x∈(0,),根據

同時注意f(0)=0.

(2)要利用單調性的定義來判斷.或利用導數也可以.

（3）解本題的關鍵是把原不等式轉化為,下一步的關鍵是確定當時，

結合圖像可知恒成立.進而不等式轉化為恒成立問題解決即可.

解：（1）∵f(x)是R上的奇函數，∴ f(0)=0------------------1分

設x∈(－,0), 則－x∈(0,)，

-------------3分

----------------------4分

（2）設，有

------8分

∵，∴，∴

∴f(x)在（，0）上為減函數------------------------9分

（3）由得

------------------10分

    又當時，

結合圖像可知恒成立，故恒成立-------12分

故，

--------------------------------15分