Question

已知在關(guān)于x的方程ax²-

2

bx+c=0中，a、b、c分別是鈍角三角形ABC的三內(nèi)角A、B、C所對的邊，且b是最大邊．
（1）求證：該方程有兩個不相等的正根；
（2）設(shè)方程有兩個不相等的正根α、β，若三角形ABC是等腰三角形，求α-β的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由△ABC為鈍角三角形，且b為最大邊，確定出cosB的范圍，利用余弦定理列出關(guān)系式，判斷出根的判別式為正，確定出方程有兩個不相等的實數(shù)根，再由韋達定理得出兩根之和與兩根之積都大于0，即可得到該方程有兩個不相等的正根；
（2）若△ABC為等腰三角形，則有a=c，得到兩根之積為1，利用完全平方公式得到∴（α-β）²=（α+β）²-4αβ，將兩根之和與兩根之積，以及利用余弦定理列出的關(guān)系式代入，整理得到結(jié)果為-4cosB，根據(jù)cosB的范圍即可確定出α-β的取值范圍．

解答：（1）證明：∵△ABC為鈍角三角形，且b為最大邊，
∴-1＜cosB＜0，且b²=a²+c²-2accosB，
∴方程根的判別式△=（-

2

b）²-4ac=2b²-4ac=2（a²+c²-2accosB）-4ac=2（a-c）²-4accosB＞0，
∴該方程有兩個不相等的實數(shù)根（設(shè)兩實數(shù)根分別為α，β），
由韋達定理得：

α+β= 2 b a ＞0 αβ= c a ＞0

，
則方程有兩個不相等的正根；
（2）解：若△ABC為等腰三角形，則有a=c，即

α+β= 2 b a αβ=1

，
∴（α-β）²=α²+β²-2αβ=（α+β）²-4αβ=

2b2

a2

-4=

2b2-4a2

a2

=

2(a2+c2-2accosB)-4a2

a2

=

2(2a2-2a2cosB)-4a2

a2

=-4cosB，
∵-1＜cosB＜0，
∴0＜-4cosB＜4，即（α-β）²∈（0，4），
則α-β∈（-2，0）∪（0，2）．

點評：此題考查了余弦定理，根的判別式，韋達定理，以及完全平方公式的運用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．