Question

（2012•福建）對于實數a和b，定義運算“﹡”：a*b=

a2-ab，a≤b b2-ab，a＞b

設f（x）=（2x-1）﹡（x-1），且關于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數根x₁，x₂，x₃，則x₁x₂x₃的取值范圍是

(

1- 3

16

，0)

．

Answer 1

分析：根據所給的新定義，寫出函數的分段形式的解析式，畫出函數的圖象，在圖象上可以看出當直線與函數的圖象有三個不同的交點時m的取值，根據一元二次方程的根與系數之間的關系，寫出兩個根的積和第三個根，表示出三個根之積，根據導數判斷出函數的單調性，求出關于m的函數的值域，得到結果．

解答：解：∵2x-1≤x-1時，有x≤0，
∴根據題意得f（x）=

(2x-1)2-(2x-1)(x-1)    x≤0 (x-1)2-(2x-1)(x-1)      x＞0

即f（x）=

2x2-x   x≤0 -x2+x   x＞0

畫出函數的圖象從圖象上觀察當關于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數根時，m的取值范圍是（0，

1

4

），
當-x²+x=m時，有x₁x₂=m，
當2x²-x=m時，由于直線與拋物線的交點在y軸的左邊，得到x3=

1- 1+8m

4

，
∴x₁x₂x₃=m（

1- 1+8m

4

）=

m-m 1+8m

4

，m∈（0，

1

4

）
令y=

m-m 1+8m

4

，
則y′=

1

4

(1-

1+8m

-

4m

1+8m

)，又h(m)=

1+8m?

+

4m

1+8m?

在m∈（0，

1

4

）上是增函數，故有h（m）＞h（0）=1
∴y′=

1

4

(1-

1+8m

-

4m

1+8m

)＜0在m∈（0，

1

4

）上成立，
∴函數y=

m-m 1+8m

4

在這個區間（0，

1

4

）上是一個減函數，
∴函數的值域是（f（

1

4

），f（0）），即(

1- 3

16

，0)
故答案為：(

1- 3

16

，0)

點評：本題考查分段函數的圖象，考查新定義問題，這種問題解決的關鍵是根據新定義寫出符合條件的解析式，本題是一個綜合問題，涉及到導數判斷函數的單調性，本題是一個中檔題目．