Question

某奇石廠為適應市場需求，投入98萬元引進我國先進設備，并馬上投入生產.第一年需各種費用12萬元，從第二年開始，每年所需費用會比上一年增加4萬元．而每年因引入該設備可獲得年利潤為50萬元．請你根據以上數據，解決以下問題：
(1)引進該設備多少年后，該廠開始盈利？
(2)引進該設備若干年后，該廠提出兩種處理方案：
第一種：年平均利潤達到最大值時，以26萬元的價格賣出．
第二種：盈利總額達到最大值時，以8萬元的價格賣出．問哪種方案較為合算？

Answer 1

解：開始盈利就是指所獲利潤大于投資總數，據此建立不等式求解；所謂方案最合理，就是指賣出設備時的年平均利潤較大，因此只需將兩種方案的年平均利潤分別求出，進行比較即可．
(1)設引進該設備x年后開始盈利．盈利額為y萬元．
則y＝50x－98－＝－2x²＋40x－98，令y>0，得10－<x<10＋，∵x∈N^*，∴3≤x≤17.即引進該設備三年后開始盈利--- 6分
(2)第一種：年平均盈利為，＝－2x－＋40≤－2＋40＝12，當且僅當2x＝，即x＝7時，年平均利潤最大，共盈利12×7＋26＝110萬元--------------9分
第二種：盈利總額y＝－2(x－10)²＋102，當x＝10時，取得最大值102，即經過10年盈利總額最大，共計盈利102＋8＝110萬元兩種方案獲利相等，但由于方案二時間長，采用第一種方案

本試題主要考查了運用函數的思想，求解實際生活中的利潤的最大值的運用。關鍵是設變量，表示利潤函數。