Question

用定積分定義求由x=2,x=3,y=,y=0圍成的圖形的面積.

Answer 1

思路分析:定積分的概念產生于分割、近似代替、求和、取極限這四步.故用四步法求定積分要注意解題的層次性,當然本題省略了求極限這一步.

解:在［2,3］上等間隔地插入n-1個點,將它等分成幾個小區間［2,2+］,［2+,2+］,…,［2+,3］,記第i個區間為［2+,2+］(i=1,2,…,n),其長度為Δx=.

分別過上述n-1個分點作x軸的垂線,把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形,它們的面積分別為ΔS₁、ΔS₂、…ΔS_n,顯然S=,設f(x)=,如圖1-5-4所示,當n很大時,Δx很小,在區間［2+,2+］上,可以認為函數f(x)=的值變化很小,近似地等于一個常數,不妨認為它近似地等于ξ_i=處的函數值f(ξ_i)=,這樣在區間［2+,2+］上,用小矩形面積ΔS_i′近似地代替ΔS_i,則有ΔS_i≈ΔS_i′=f(ξ_i)·Δx

=·(i=1,2,…,n).

∴S_n=