Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱A₁A=2，
（Ⅰ）證明：AC⊥A₁B；
（Ⅱ）若棱AA₁上存在一點P，使得

AP

=λ

PA1

，當二面角A-B₁C₁-P的大小為30⁰時，求實數λ的值．

Answer 1

分析：（I）根據題意建立空間直角坐標系，分別求出兩條直線所在的向量．利用向量之間的運算求出兩個向量的夾角，進而轉化為兩條直線的夾角．
（II）首先根據題意寫出P點的坐標，再分別求出兩個平面的法向量，然后利用向量之間的運算求出兩個向量的夾角，進而轉化為兩個平面的夾角，即可求出λ的數值．

解答：解：根據題意可得：以DA，DC，DA₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，

3

)B(1，1，0)，D1(-1，0，

3

)，B1(0，1，

3

)，C1(-1，1，

3

)---------------（1分）
（Ⅰ）由以上可得：

AC

=(-1，1，0)，

A1B

=(1，1，-

3

)
∴

AC

•

A1B

=-1×1+1×1+0×(-

3

)=0
∴AC⊥A₁B--------------（4分）
（Ⅱ）∵

AP

=λ

PA1

∴P(

1

1+λ

，0，

3 λ

1+λ

)，
設平面AB₁C₁的一個法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，
因為

AB1

=(-1，1，

3

)，

AC1

=(-2，1，

3

)
所以

n1 • AB1 =-x1+y1+ 3 z1=0 n1 • AC1 =-2x1+y1+ 3 z1=0

，
令z1=

3

則y₁=-3，x₁=0，
∴

n1

=(0，-3，

3

)-----------------------（6分）
設平面B₁C₁P的一個法向量為

n2

=(x2，y2，z2)，
因為

B1C1

=(-1，0，0)，

B1P

=(

1

λ+1

，-1，

- 3

λ+1

)
所以

n2 • B1C1 =-x2=0 n2 • B1P = x2 λ+1 -y2- 3 z2 λ+1 =0

∴

n2

=(0，

3

λ+1

，-1)-----------------（8分）
所以cos30°=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

| -3 3 λ+1 - 3 |

3 (λ+1)2 +1 •2 3

=

| 3 λ+1 +1|

2 3 (λ+1)2 +1

=

3

2

-------（10分）
解得：λ=2--------------------------------------------------------------（12分）

點評：本題考查的知識點證明線線垂直以及根據二面角的大小求參數，解決的方法是根據題意建立空間之間坐標系，利用向量的有關運算解決問題，利用向量解題對學生的運算能力有一定的要求．