Question

如圖所示，已知四棱錐P—ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°,E,F分別是BC,PC的中點(diǎn).

(1)證明:AE⊥PD;

(2)若H為PD上的動(dòng)點(diǎn),EH與平面PAD所成最大角的正切值為,

求二面角E—AF—C的余弦值.

Answer 1

（1）證明略（2）所求二面角的余弦值為

解析:

(1)  由四邊形ABCD為菱形,∠ABC=60°,

可得△ABC為正三角形.

因?yàn)镋為BC的中點(diǎn),所以AE⊥BC.

又BC∥AD,因此AE⊥AD.

因?yàn)镻A⊥平面ABCD,AE平面ABCD,所以PA⊥AE.

而PA平面PAD,AD平面PAD且PA∩AD=A,

所以AE⊥平面PAD.又PD平面PAD,

所以AE⊥PD.

(2)  如圖所示，設(shè)AB=2,H為PD上任意一點(diǎn),連結(jié)AH、EH,

由(1)知,AE⊥平面PAD,

則∠EHA為EH與平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中,AE=,

所以,當(dāng)AH最短時(shí),∠EHA最大,

即當(dāng)AH⊥PD時(shí),∠EHA最大.

此時(shí),tan∠EHA===,

因此AH=.又AD=2,

所以∠ADH=45°,所以PA=2.

方法一  因?yàn)镻A⊥平面ABCD,PA平面PAC,

所以,平面PAC⊥平面ABCD.

過(guò)E作EO⊥AC于O,則EO⊥平面PAC,

過(guò)O作OS⊥AF于S,連接ES,

則∠ESO為二面角E—AF—C的平面角.

在Rt△AOE中,EO=AE·sin30°=,

AO=AE·cos30°=,又F是PC的中點(diǎn),

在Rt△ASO中,SO=AO·sin45°=,

又SE===,

在Rt△ESO中,cos∠ESO===,

即所求二面角的余弦值為.

方法二  由(1)知AE,AD,AP兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

又E、F分別為BC、PC的中點(diǎn)，所以

A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），

D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F(xiàn)(，，1），

所以=(，0，0），

=(，，1）.

設(shè)平面AEF的一法向量為

m=（x₁，y₁，z₁），

因此

取z₁=-1，則m=（0，2，-1），

因?yàn)锽D⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，

所以BD⊥平面AFC，

故為平面AFC的一法向量.

又=（-，3，0），

所以cos〈m,〉===.

因此,二面角E—AF—C為銳角,

所以所求二面角的余弦值為