Question

(本小題滿分12分)
已知函數:.
(1) 當時①求的單調區間;
②設,若對任意,存在,使,求實數取值范圍.
(2) 當時,恒有成立,求的取值范圍.

Answer 1

(1) ①在(0,1)上是減函數,在(1,3)上是增函數,(3，+∞)上是減函數.② (2)

解析試題分析：(1) ①當時,,
 
由得,得
∴在(0,1)上是減函數,在(1,3)上是增函數,(3，+∞)上是減函數.   ………3分
②“對任意,存在,使”等價于“函數在上的最小值不小于在上的最小值.         ………4分
由①知:在(0,1)上是減函數，在(1,2)上是增函數,所以,
而時,
∴ 解得: ,故實數取值范圍是      ………6分
（2），
令（）.則.………7分
①當時,對,有,在上遞減,
故,適合題意；  ………9分
②當時,,對,有,故在上
遞增,任取,有,不合題意；     ………11分
③當時,,不合題意.
綜上知,所求的取值范圍是.    ………12分
考點：導數的運算；函數的單調性與導數的關系；函數的最值與導數的關系。
點評：由于導數的實際應用價值較高，因而常成為考試熱點。另分步討論問題也常出現在后面的大題中。