Question

（2012•山東）在平面直角坐標系xOy中，F是拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點，M是拋物線C上位于第一象限內的任意一點，過M，F，O三點的圓的圓心為Q，點Q到拋物線C的準線的距離為

3

4

．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）是否存在點M，使得直線MQ與拋物線C相切于點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）若點M的橫坐標為

2

，直線l：y=kx+

1

4

與拋物線C有兩個不同的交點A，B，l與圓Q有兩個不同的交點D，E，求當

1

2

≤k≤2時，|AB|²+|DE|²的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過F（0，

P

2

），圓心Q在線段OF平分線y=

p

4

上，推出求出p=1，推出拋物線C的方程．
（Ⅱ）假設存在點M（x₀，

x02

2

），（x₀＞0）滿足條件，拋物線C在點M處的切線的斜率為函數的導數，求出Q的坐標，利用|QM|=|OQ|，求出M（

2

，1）．使得直線MQ與拋物線C相切與點M．
（Ⅲ）當x₀=

2

時，求出⊙Q的方程為．利用直線與拋物線方程聯立方程組．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達定理，求出|AB|²．同理求出|DE|²，通過|AB|²+|DE|²的表達式，通過換元，利用導數求出函數的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知F（0，

P

2

），圓心Q在線段OF平分線y=

p

4

上，
因為拋物線C的標準方程為y=-

p

2

，
所以

3p

4

=

3

4

，即p=1，
因此拋物線C的方程x²=2y．
（Ⅱ）假設存在點M（x₀，

x02

2

），（x₀＞0）滿足條件，
拋物線C在點M處的切線的斜率為
y′

|

x=x0

=(

x2

2

) ′  

|

x=x0

=x₀．
令y=

1

4

得，xQ=

x0

2

+

1

4x0

，
所以Q（

x0

2

+

1

4x0

，

1

4

），
又|QM|=|OQ|，
故( -

x0

2

+

1

4x0

)2+(

1

4

-

x02

2

) 2=(

x0

2

+

1

4x0

)2+

1

16

，
因此(

1

4

-

x02

2

) 2=

9

16

．又x₀＞0．
所以x₀=

2

，此時M（

2

，1）．
故存在點M（

2

，1），使得直線MQ與拋物線C相切與點M．
（Ⅲ）當x₀=

2

時，由（Ⅱ）的Q（

5 2

8

，

1

4

），⊙Q的半徑為：r=

( 5 2 8 )2+( 1 4 )2

=

3 6

8

．
所以⊙Q的方程為(x-

5 2

8

)2+(y-

1

4

)2=

27

32

．
由

y= 1 2 x2 y=kx+ 1 4

，整理得2x²-4kx-1=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于△=16k²+8＞0，x₁+x₂=2k，x₁x₂=-

1

2

，
所以|AB|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=（1+k²）（4k²+2）．
由

(x- 5 2 8 )2+(y- 1 4 )2= 27 32 y=kx+ 1 4

，整理得（1+k²）x²-

5 2

4

x-

1

16

=0，
設D，E兩點的坐標分別為（x₃，y₃），（x₄，y₄），
由于△=

k2

4

+

27

8

＞0，x₃+x₄=

5 2

4(1+ k 2)

，x₃x₄=-

1

16(1+ k 2)

．
所以|DE|²=（1+k²）[（x₃+x₄）²-4x₃x₄]=

25

8(1+ k 2)

+

1

4

，
因此|AB|²+|DE|²=（1+k²）（4k²+2）+

25

8(1+ k 2)

+

1

4

，令1+k²=t，由于

1

2

≤t≤5，則

5

4

≤t≤5，
所以|AB|²+|DE|²=t（4t-2）+

25

8t

+

1

4

=4t²-2t+

25

8t

+

1

4

，
設g（t）=4t²-2t+

25

8t

+

1

4

，t∈ [

5

4

，5]，因為g′（t）=8t-2-

25

8t2

，
所以當t∈ [

5

4

，5]，g′（t）≥g′（

5

4

）=6，
即函數g（t）在t∈ [

5

4

，5]是增函數，所以當t=

5

4

時，g（t）取最小值

13

2

，
因此當k=

1

2

時，|AB|²+|DE|²的最小值為

13

2

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，拋物線的標準方程，拋物線的簡單性質，設而不求的解題方法，弦長公式的應用，考查分析問題解決問題的能力，轉化思想的應用．