Question

（2012•德陽三模）已知函數f(x)=2sinωx(cosωx-

3

sinωx)+

3

(ω＞0)的最小正周期為π．
（1）求f（x）的單調減區間；
（2）若f(θ)=

2

3

，求sin(

5π

6

-4θ)的值．

Answer 1

分析：（1）根據三角函數的恒等變換化簡f（x）的解析式為2sin（2ωx+

π

3

），由最小正周期求出ω=1，可得 f（x）=2sin（2x+

π

3

）．令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求出x的范圍即可求得 f（x）的單調減區間．
（2）由f(θ)=

2

3

，求得 sin（2θ+

π

3

）=

1

3

，再由 sin(

5π

6

-4θ)=cos[

3π

2

-(

5π

6

-4θ)]=-cos（4θ+

2π

3

）=2sin2(2θ+

π

3

)-1，運算求得結果．

解答：解：（1）∵函數f(x)=2sinωx(cosωx-

3

sinωx)+

3

(ω＞0)=sin2ωx+

3

cos2ωx=2sin（2ωx+

π

3

），
由f（x）的最小正周期等于π 可得

2π

2ω

=1，故ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）．
令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，可得  kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，
∴f（x）的單調減區間為[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈z．
（2）若f(θ)=

2

3

，則 2sin（2θ+

π

3

）=

2

3

，
∴sin（2θ+

π

3

）=

1

3

．
 故 sin(

5π

6

-4θ)=cos[

3π

2

-(

5π

6

-4θ)]=-cos（4θ+

2π

3

）=2sin2(2θ+

π

3

)-1=2×

1

9

-1=-

7

9

．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，三角函數的周期性及其求法，符合三角函數的單調性，屬于中檔題．