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已知函數f（x）=x+lgx．
（Ⅰ）利用函數單調性的定義證明函數f（x）在（0，+∞）上是單調增函數；
（Ⅱ）證明方程f（x）=3在區間（1，10）上有實數解；
（Ⅲ）若x0是方程f（x）=3的一個實數解，且x0∈（k，k+1），求整數k的值．
分析：（Ⅰ）證明：設0＜x1＜x2，證明f（x1）-f（x2）＜0即可；                                        
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-3=x+lgx-3，
由g（1）g（10）=（-2）×8＜0，利用函數零點的判定定理即可得出方程f（x）=3在（0，+∞）有實數解．        
（III）令g（x）=f（x）-3=x+lgx-3，
由g（2）g（3）=（lg2-1）×lg3＜0，且函數y=g（x）在 （0，+∞）是單調遞增的．即可得出函數g（x0有唯一的零點x0∈（2，3）．可得k．
解答：（Ⅰ）證明：設0＜x1＜x2，則f（x1）-f（x2）=x1+lgx1-（x2+lgx2）=(x1-x2)+lg
x1
x2
．
∵設0＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，ln
x1
x2
＜0，∴f（x1）＜f（x2）．
∴函數f（x）在（0，+∞）上是單調增函數；                                        
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-3=x+lgx-3，
∵g（1）g（10）=（-2）×8＜0，且y=g（x）的圖象在（1，10）是不間斷的，
方程f（x）=3在（0，+∞）有實數解．        
（III）令g（x）=f（x）-3=x+lgx-3，
∵g（2）g（3）=（lg2-1）×lg3＜0，且函數y=g（x）在 （0，+∞）是單調遞增的．
∴函數g（x0有唯一的零點x0∈（2，3）．
故k=2．
點評：熟練掌握函數單調性的定義、函數零點的判定定理等是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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