Question

如圖，對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，A_n（x_n，y_n）是拋物線x²=4y上的點(diǎn)，過焦點(diǎn)F的直線FA_n交拋物線于另一點(diǎn)B_n（s_n，t_n）．
（Ⅰ）試證：x_ns_n=-4（n≥1）；
（Ⅱ）取x_n=2ⁿ，并記C_n為拋物線上分別以A_n與B_n為切點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)．試證：|FC₁|+|FC₂|+…+|FC_n|=2ⁿ-2^-n+1+1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設(shè)直線A_nB_n的方程為y-1=k_nx，然后與拋物線方程x²=4y聯(lián)立消去y得到x²-4k_nx-4=0，再由根與系數(shù)的關(guān)系可得到x_ns_n=-4，從而得證．
（Ⅱ）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出拋物線x²=4y在A_n處的切線的斜率，進(jìn)而可得到拋物線在A_n處的切線的方程，同理可得到x²=4y在B_n處的切線方程，然后兩切線方程相減整理可得到交點(diǎn)C_n的坐標(biāo)，然后結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式可得到|FCn|2=(

xn+sn

2

)2+4=

x 2 n

4

+

s 2 n

4

+2整理即可得到|FCn|=

|xn|

2

+

2

|xn|

，又由于x_n=2ⁿ可得到|FC₁|+|FC₂|+…+|FC_n|=

1

2

（|x₁|+|x₂|+…+|x_n|）+2(

1

|x1|

+

1

|x2|

+…+

1

|xn|

)=

1

2

(2+22+…+2n)+2(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)，最后根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得到最后答案．

解答：證明：（Ⅰ）對(duì)任意固定的n≥1，因?yàn)榻裹c(diǎn)F（0，1），
所以可設(shè)直線A_nB_n的方程為y-1=k_nx，
將它與拋物線方程x²=4y聯(lián)立得：x²-4k_nx-4=0，
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得x_ns_n=-4（n≥1）．
（Ⅱ）對(duì)任意固定的n≥1，
利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)易得拋物線x²=4y在A_n處
的切線的斜率kAn=

xn

2

，
故x²=4y在A_n處的切線的方程為：y-yn=

xn

2

(x-xn)，①
類似地，可求得x²=4y在B_n處的切線的方程為：y-tn=

sn

2

(x-sn)，②
由②-①得：yn-tn=-

xn-sn

2

x+

x 2 n - s 2 n

2

=

x 2 n

4

-

s 2 n

4

，

xn-sn

2

x=

x 2 n - s 2 n

4

，∴x=

xn+sn

2

③
將 ③代入 ①并注意x_ns_n=-4得交點(diǎn)C_n的坐標(biāo)為(

xn+sn

2

，-1)．
由兩點(diǎn)間的距離公式得：|FCn|2=(

xn+sn

2

)2+4=

x 2 n

4

+

s 2 n

4

+2=

x 2 n

4

+

4

x 2 n

+2=(

xn

2

+

2

xn

)2，?|FCn|=

|xn|

2

+

2

|xn|

．
現(xiàn)在x_n=2ⁿ，利用上述已證結(jié)論并由等比數(shù)列求和公式得：
|FC₁|+|FC₂|+…+|FC_n|=

1

2

（|x₁|+|x₂|+…+|x_n|）+2(

1

|x1|

+

1

|x2|

+…+

1

|xn|

)
=

1

2

(2+22+…+2n)+2(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)=(2n-1)+(2-21-n)=2n-2-n+1+1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與拋物線的綜合問題和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．考查基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用和計(jì)算能力．圓錐曲線、直線以及數(shù)列是高考必考題，要給予重視．