Question

已知函數.
（1）求函數的極值；
（2）定義：若函數在區間上的取值范圍為，則稱區間為函數的“域同區間”.試問函數在上是否存在“域同區間”？若存在，求出所有符合條件的“域同區間”；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1），；（2）不存在，詳見解析.

試題分析：（1）先求出函數的定義域與導數，求出極值點后，利用圖表法確定函數的單調性，從而確定函數的極大值與極小值；（2）結合（1）中的結論可知，函數在區間上單調遞增，根據定義得到，，問題轉化為求方程在區間上的實數根，若方程的根的個數小于，則不存在“域同區間”；若上述方程的根的個數不少于，則存在“域同區間”，并要求求出相應的根，從而確定相應的“域同區間”.
試題解析：（1），定義域為，
且，
令，解得或，列表如下：

	增	極大值	減	極小值	增

故函數在處取得極大值，即，
函數在處取得極小值，即；
（2）由（1）知，函數在區間上單調遞增，
假設函數在區間上存在“域同區間”，則有，，
則方程在區間上至少有兩個不同的實數根，
構造新函數，定義域為，
，令，解得，，
當時，；當時，，
故函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
因為，，，故函數在區間上存在唯一零點，
即方程在區間上只存在唯一實數根，
故函數在區間上不存在“域同區間”.