Question

如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，點E、F分別在邊CD、CB上，點E與點C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O，沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED.

(1)求證：BD⊥平面POA；

(2)記三棱錐P ?ABD體積為V1，四棱錐P ?BDEF體積為V2，且，求此時線段PO的長．

 

Answer 1

（1）見解析（2）

【解析】(1)在菱形ABCD中，∵BD⊥AC，

∴BD⊥AO.

∵EF⊥AC，∴PO⊥EF，

∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED＝EF，且PO?平面PEF.

∴PO⊥平面ABFED，

∵BD?平面ABFED，

∴PO⊥BD.

∵AO∩PO＝O，AO，PO?平面POA.

∴BD⊥平面POA.

(2)設AO∩BD＝H

由(1)知，PO⊥平面ABFED，PO＝CO.

∴PO是三棱錐P?ABD的高及四棱錐P?BDEF的高

∴V1＝S△ABD·PO，V2＝S梯形BFED·PO

∵∴S梯形BFED＝S△ABD＝S△BCD

∴S△CEF＝S△BCD

∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴EF∥BD，∴△CEF∽△CDB

∴＝

∴CO＝CH＝AH＝×2＝

∴線段PO的長為.