Question

定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy，f(xy)＝f(x)f(y)(x，y∈R)，且當x≠0時，f(x)≠0．

(1)求證：f(0)＝0

(2)證明：f(x)是偶函數．并求f(x)的表達式

(3)若f(x)＝alnx有兩個不同實數解，求a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy，令x＝y＝0時，f(0)＝f(0)＋f(0)＋0，得f(0)＝0(2分) 　　(2)由f(xy)＝f(x)f(y)，令x＝2，y＝1，得f(2)＝f(2)f(1)，∵x≠0時，f(x)≠0，∴f(1)＝1．(3分) 　　由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy，令x＝1，y＝－1，得f(0)＝f(1)＋f(－1)－2，由(1)及f(1)＝1得：f(－1)＝f(1)＝1；－(4分) 　　又由f(xy)＝f(x)f(y)，令y＝－1得f(－x)＝f(x)f(－1)＝f(x)(5分) 　　即f(x)是R上的偶函數(6分) 　　又由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy，令x＝－y，得f(0)＝f(x)＋f(－x)－2x2，(7分) 　　∴f(x)＝x2．　8分 　　(3)令h(x)＝x2－alnx，依題意函數h(x)有兩個不同的零點，(9分) 　　因為h(x)的定義域為(0，＋∞)，且，(10分) 　　(1)若a≤0，，h(x)是增函數，不合，舍去． 　　(2)若a＞0，由解得或(舍去)，即當時h(x)為單調遞減的函數，當時h(x)為單調遞增的函數，(11分) 　　∴h(x)的最小值為，(12分) 　　又∵當a＞0，x＜1時h(x)＞0，令g(x)＝x－lnx，由，可知，當x＞1時，g(x)是增函數，因g(1)＝1＞0，故當x＞1時x＞lnx，即當x＞1，a＞0時h(x)＝x2－alnx＞x2－ax，故當x＞a時，h(x)＞0，故當時h(x)有兩個零點，解得a＞2e，所以a＞2e為所求．(14分)