Question

（2011•廣州一模）設各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，已知數列{

Sn

}是首項為1，公差為1的等差數列．
（1） 求數列{a_n}的通項公式；
（2）令bn=

1

anS2n+1 + an+1S2n-1

，若不等式

n

i=1

bi≥

L

2n+1 +1

對任意n∈N^*都成立，求實數L的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由數列數列{

Sn

}是首項為1，公差為1的等差數列，根據等差數列的通項公式即可得到

Sn

的通項公式，進而得到S_n的通項公式，然后當n=1時，求出a₁=S₁的值，當n大于等于2時，利用a_n=S_n-S_n-1即可得到數列{a_n}的通項公式，把n=1代入也滿足；
（2）把（1）中求出的S_n的通項公式代入到b_n中，化簡后確定出通項，然后列舉出

n

i=1

bi的各項，抵消后得到通項，將通項代入到不等式中，解出L，令cn=

n

2n+1

，利用作商的方法得到此數列為遞增數列，進而得到此數列的最小值為c₁，讓L小于等于求出的最小值即可得到L的取值范圍．

解答：解：（1）∵數列{

Sn

}是首項為1，公差為1的等差數列，
∴

Sn

=1+(n-1)=n．
∴S_n=n²．（2分）
當n=1時，a₁=S₁=1；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
又a₁=1適合上式．
∴a_n=2n-1．（4分）
（2）因為bn=

1

anS2n+1 + an+1S2n-1

=

1

(2n+1) 2n-1 +(2n-1) 2n+1

=

1

(2n+1)(2n-1) ( 2n+1 + 2n-1 )

=

2n+1 - 2n-1

2 (2n+1)(2n-1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．（6分）
∴

n

i=1

bi=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

2n+1 -1

2 2n+1

．（8分）
故要使不等式

n

i=1

bi≥

L

2n+1 +1

對任意n∈N^*都成立，
即

2n+1 -1

2 2n+1

≥

L

2n+1 +1

對任意n∈N^*都成立，
得L≤

( 2n+1 -1)( 2n+1 +1)

2 2n+1

=

n

2n+1

對任意n∈N^*都成立．（10分）
令cn=

n

2n+1

，則

cn+1

cn

=

(n+1) 2n+1

n 2n+3

=

2n3+5n2+4n+1

2n3+3n2

＞1．
∴c_n+1＞c_n．∴cn＞cn-1＞…＞c1=

3

3

．（12分）
∴L≤

3

3

．∴實數L的取值范圍為(-∞，

3

3

]．（14分）

點評：此題考查學生掌握等差數列的性質，會利用數列的遞推式得到等差數列的通項公式，掌握不等式恒成立時滿足的條件，是一道中檔題．