Question

如圖所示，四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA₁＝AB＝2，E為棱AA₁的中點(diǎn)．

(1)證明：B₁C₁⊥CE；

(2)設(shè)點(diǎn)M在線段C₁E上，且直線AM與平面ADD₁A₁所成角的正弦值為.求線段AM的長．

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】

試題分析：以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，(1)求出，，于是，所以；

（2）設(shè)，有.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041704501637504586/SYS201404170451416093388145_DA.files/image008.png">平面，可取為平面的一個(gè)法向量，則與的夾角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面夾角的正弦值，由題目知這個(gè)正弦值為，即可列出一關(guān)于的方程，解方程求出的值，最后求出線段的長.

試題解析：如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

依題意得，，，，，

（1）證明：易得，，于是，所以.

（2）,=(1,1,1). 設(shè),0≤≤1，有

. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041704501637504586/SYS201404170451416093388145_DA.files/image008.png">平面，可取為平面的一個(gè)法向量.

設(shè)為直線與平面所成的角，則

==.

于是=，解得，所以.

考點(diǎn)：1.空間中兩直線的位置關(guān)系；（2）用空間向量解決立體幾何問題.