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已知P為雙曲線C：
x2
9
-
y2
16
=1上的點，點M滿足|
OM
|=1，且
OM
•
PM
=0，則當|
PM
|取得最小值時的點P到雙曲線C的漸近線的距離為（　　）
分析：依題意可求得點P的坐標為P（3，0），利用點到直線間的距離公式即可求得點P到雙曲線C的漸近線的距離．
解答：解：∵|
OM
|=1，
∴點M的軌跡是以原點為圓心，1為半徑的單位圓；
不妨設P為雙曲線右支上的任一點，∵
OM
•
PM
=0，
∴OM⊥PM，
∴△OPM為直角三角形，且∠OMP=90°，|OP|為該直角三角形的斜邊長；
∵P為雙曲線C：
x2
9
-
y2
16
=1上的點，
在Rt三角形OPM中，要使直角邊|
PM
|最小，由于|
OM
|=1，故只需|OP|最小，
∵當點P為雙曲線C的右支與x軸的交點時，|OP|最小，此時P（3，0）．
∵雙曲線C：
x2
9
-
y2
16
=1的一條漸近線方程為y=
4
3
x，
∴點P到漸近線4x-3y=0的距離d=
|4×3-3×0|
42+(-3)2
=
12
5
．
故選B．
點評：本題考查雙曲線的簡單性質，考查向量式的幾何意義，求得點P的坐標為（3，0）是關鍵，考查轉化思想與邏輯思維能力，屬于難題．
練習冊系列答案
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（2012•蘭州模擬）已知F為雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右焦點，P為雙曲線C右支上一點，且位于x軸上方，M為直線x=-
a2
c
上一點，O為坐標原點，已知
OP
=
OF
+
OM
，且|
OF
|=|
OM
|，則雙曲線C的離心率為（　　）

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A.     B.      C.      D.

 

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（A）     （B）      （C）      （D）

 

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 已知、為雙曲線C:的左、右焦點，點p在C上，∠p=，則P到x軸的距離為

(A)      (B)      (C)       (D)

 

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知、為雙曲線C:的左、右焦點，點P在C上，∠P=，則P到x軸的距離為                                                    (     )

(A)      (B)      (C)       (D)

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