Question

（2011•天津模擬）如圖，橢圓

x 2

a 2

+

y 2

b2

=1(a＞b＞0)與一等軸雙曲線相交，M是其中一個交點，并且雙曲線在左、右頂點分別是該橢圓的左、右焦點F₁、F₂，雙曲線的左、右焦點分別是橢圓左、右頂點，△MF₁F₂的周長為（4

2

+1），設P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點分別為A，B和C，D．
（1）求橢圓和雙曲線的標準方程；
（2）設直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，求證：k₁•k₂=1；
（3）是否存在常數λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意知，確定雙曲線、橢圓離心率，根據△MF₁F₂的周長，即可求得橢圓的標準方程，根據雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，可求雙曲線的標準方程，；
（2）設點P（x₀，y₀），根據斜率公式求得k₁、k₂，利用點P在雙曲線上，即可證明結果；
（3）設直線AB、CD的方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理，即可求得|AB|，|CD|，代入|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，求得λ的值．

解答：（1）解：由題意知，雙曲線的離心率為

2

，橢圓離心率為

c

a

=

2

2

，∴a=

2

c
∵2a+2c=4（

2

+1），∴a=2

2

，c=2，∴b²=a²-c²=4，
∴橢圓的標準方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
∴橢圓的焦點坐標為（±2，0），
∵雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，
∴該雙曲線的標準方程為

x2

4

-

y2

4

=1．
（2）證明：設點P（x₀，y₀），則k₁=

y0

x0+2

，k₂=

y0

x0-2

，
∴k₁•k₂=

y0

x0+2

×

y0

x0-2

=

y02

x02-4

，
又點P（x₀，y₀）在雙曲線上，∴y₀²=x₀²-4，
∴k₁•k₂=

y02

x02-4

=1．
（3）解：假設存在常數λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立，則由（2）知k₁•k₂=1，
∴設直線AB的方程為y=k（x+2），則直線CD的方程為y=

1

k

（x-2），
由方程組

y=k(x+2) x2 8 + y2 4 =1

消y得：（2k²+1）x²+8k²x+8k²-8=0，
設A（x₁，y₁），B（x2，y₂），則由韋達定理得，x₁+x₂=-

8k2

2k2+1

，x₁•x₂=

8k2-8

2k2+1

，
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

4 2 (1+k2)

2k2+1

，
同理可得|CD|=

4 2 (1+k2)

2+k2

∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ=

1

|AB|

+

1

|CD|

=

3 2

8

∴存在常數λ=

3 2

8

，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．

點評：本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系，是一道綜合性的試題，考查同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．