Question

已知集合A=[2，log₂t]，集合B={x|x²-8x+12≤0}，x，t∈R，且A⊆B．
（1）對于區(qū)間[a，b]，定義此區(qū)間的“長度”為b-a，若A的區(qū)間“長度”為1，試求t的值．
（2）某個函數(shù)f（x）的值域是B，且f（x）∈A的概率不小于

1

2

，試確定t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)log₂t-2=1，可得log₂t=3，即可得到答案．
（2）根據(jù)集合B={x|x²-8x+12≤0}可求出集合B的取值范圍，即可得到函數(shù)f（x）的值域，又因為f（x）∈A的概率不小于

1

2

，可求得區(qū)間A的長度，進而得到有關(guān)t的值．

解答：解：（1）∵A的區(qū)間“長度”為1，
∴l(xiāng)og₂t-2=1，即log₂t=3，
∴t=8．
（2）由x²-8x+12≤0，得2≤x≤6
B=[2，6]，
∴B的區(qū)間長度為4．設(shè)A的區(qū)間“長度”為x，因f（x）∈A的概率不小于

1

2

，
∴

x

4

≥

1

2

，
∴x≥2，即log₂t-2≥2，解得t≥2⁴=16．
又A⊆B，
∴l(xiāng)og₂t≤6，即t≤2⁶=64，
所以t的取值范圍為[16，64]．

點評：本題主要考查對數(shù)的運算問題．這里還涉及到概率的有關(guān)問題，是一個小綜合題．