Question

已知{a_n}為單調遞增的等比數列，S_n為其前n項和，滿足S₄=a₁+28，且a₂，a₃+2，a₄仍構成等差數列．
（Ⅰ）求a₂₀₁₄；
（Ⅱ）設數列{c_n}的通項公式為c_n=log 

1

2

a_n，b_n=a_n•c_n，T_n為數列{b_n}的前n項和，現有真命題p：“T_n+n•2ⁿ⁺¹≥

1

3

x³-

1

2

（2a+1）x²+（a²+a）x恒成立，a≥1．x∈[0，1]”，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用{a_n}為單調遞增的等比數列，S₄=a₁+28，且a₂，a₃+2，a₄仍構成等差數列，求出數列的首項與公比，可得數列的通項，即可求a₂₀₁₄；
（Ⅱ）求得數列{b_n}的通項，利用錯位相減法求出前n項和，可得其最小值，求出表達式右邊的最大值，解不等式，即可求a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設{a_n}的首項為a₁，公比為q，則
∵a₂，a₃+2，a₄構成等差數列，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，①
∵S₄=a₁+28，
∴a₂+a₃+a₄=28，②
∴a₃=8，a₂+a₄=20，
∴

a1q+a1q3=20 a1q2=8

，
∴

q=2 a1=2

或

q= 1 2 a1=32

，
∵{a_n}為單調遞增的等比數列，
∴an=2n，
∴a₂₀₁₄=2²⁰¹⁴；
（Ⅱ）∵c_n=log 

1

2

a_n，b_n=a_n•c_n，
∴b_n=-n•2ⁿ；
∴-T_n=1×2+2×2²+…+n•2ⁿ，
∴-2T_n=1×2²+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得T_n=2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n+n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2
∴（T_n+n•2ⁿ⁺¹）_min=2，
a≥1時，令f（x）=

1

3

x³-

1

2

（2a+1）x²+（a²+a）x，則f′（x）=（x-a）[x-（a+1）]≥0對x∈[0，1]恒成立．
∴x=1時，f（x）取得最大值f（1）=a²-

1

6

，
∴2≥a²-

1

6

，
∴-

78

6

≤a≤

78

6

，
∵a≥1，
∴1≤a≤

78

6

．

點評：本題考查等比數列的通項，考查數列的求和，考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，正確求最值是關鍵．