Question

已知函數f（x）=ax-lnx（a＞．
（I）求證f（x）≥1+lna；
（II）若對任意的，總存在唯一的（e為自然對數的底數），使得g（x₁）=f（x₂），求實數a的取值范圍．

Answer 1

（I）證明：求導數可得f′（x）=a-（x＞0）
令f′（x）＞0，可得x＞，令f′（x）＜0，可得0＜x＜
∴x=時，函數取得最小值
∴f（x）≥f（）=1+lna；
（II）解：g′（x）=＞0，∴函數g（x），當時，函數為增函數，∴g（x）∈[，2]
當時，函數f（x）在上單調減，∴f（x）∈[，ae-1]
∴，無解；
當時，函數f（x）在上單調減，在上單調增，f（）=1+lna≤，∴a≤，∴＜a≤
當時，函數f（x）在上單調增，∴f（x）∈[，ae-1]，∴，無解
綜上知，＜a≤．
分析：（I）求導數，由導數的正負取得函數的單調性，從而可得函數的最值，即可證明結論；
（II）首先確定g（x）∈[，2]，再分類討論確定函數f（x）的值域，利用對任意的，總存在唯一的（e為自然對數的底數），使得g（x₁）=f（x₂），建立不等式，即可求實數a的取值范圍．
點評：本題考查的知識點是利用導數求閉區間上函數的最值，函數解析式的求解及常用方法，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．