Question

已知函數，．
（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；
（Ⅱ）求函數的單調區間；
（Ⅲ）設，當時，都有成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ），（Ⅱ）當時，的單調增區間為；當時，的單調增區間是，的單調減區間是． （Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ）利用導數的幾何意義，曲線在點處的切線斜率為在點處的導數值. 由已知得．所以．，（Ⅱ）利用導數求函數單調區間，需明確定義域，再導數值的符號確定單調區間. 當時，,所以的單調增區間為．當時,令，得，所以的單調增區間是；令，得，所以的單調減區間是．（Ⅲ）不等式恒成立問題，一般利用變量分離轉化為最值問題. “當時，恒成立”
等價于“當時，恒成立．”設，只要“當時，成立．”
易得函數在處取得最小值，所以實數的取值范圍．
（Ⅰ）由已知得．
因為曲線在點處的切線與直線垂直，
所以．所以．
所以．                                            3分
（Ⅱ）函數的定義域是，．  
（1）當時，成立，所以的單調增區間為．
（2）當時，
令，得，所以的單調增區間是；
令，得，所以的單調減區間是．   
綜上所述，當時，的單調增區間為；
當時，的單調增區間是，
的單調減區間是．         8分
（Ⅲ）當時，成立，．    
“當時，恒成立”
等價于“當時，恒成立．”
設，只要“當時，成立．”
．
令得，且，又因為，所以函數在上為減函數；  
令得，，又因為，所以函數在上為增函數．
所以函數在處取得最小值，且．
所以．  又因為，
所以實數的取值范圍．                       13分
（Ⅲ）另解：
（1）當時，由（Ⅱ）可知， 在上單調遞增，所以．
所以當時，有成立．
（2）當時， 可得．
由（Ⅱ）可知當時，的單調增區間是，
所以在上單調遞增，又，所以總有成立．
（3）當時，可得．
由（Ⅱ）可知，函數在上為減函數，在為增函數，
所以函數在處取最小值，
且．
當時，要使成立，只需，
解得．所以．
綜上所述，實數的取值范圍．