Question

已知函數(shù)，（，）．

（1）判斷曲線在點(diǎn)（1，）處的切線與曲線的公共點(diǎn)個數(shù)；

（2）當(dāng)時，若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)△>時，即或時，有兩個公共點(diǎn)；

當(dāng)△=時，即或時，有一個公共點(diǎn)；

當(dāng)△<時,即時，沒有公共點(diǎn) .

（2）當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點(diǎn).

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)得切線的斜率，由直線方程的點(diǎn)斜式，得到曲線在點(diǎn)（1，）處的切線方程為；

由，利用一元二次方程根的判別式討論得解.

（2）為討論=的零點(diǎn)，

令得到，

因此可令，利用導(dǎo)數(shù)知識，討論起最大值、最小值即得所求.

試題解析：（1），所以斜率 2分

又，曲線在點(diǎn)（1，）處的切線方程為 3分

由 4分

由△=可知：

當(dāng)△>時，即或時，有兩個公共點(diǎn)；

當(dāng)△=時，即或時，有一個公共點(diǎn)；

當(dāng)△<時,即時，沒有公共點(diǎn) 7分

（2）=，

由得 8分

令，則

當(dāng)，由得 10分

所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

因此， 11分

由，比較可知

所以，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點(diǎn). 14分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化與劃歸思想.