Question

在數列中，對于任意，等式：恒成立，其中常數．

（1）求的值；

（2）求證：數列為等比數列；

（3）如果關于的不等式的解集為，試求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1），；（2）只需求出即可；（3）。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）　因為，

所以，，

解得 ，．                3分

（Ⅱ）當時，由，   ①

得，           ②

將①，②兩式相減，得,

化簡，得，其中．         5分

因為，

所以，其中．           6分

因為 為常數，

所以數列為等比數列．            8分

（Ⅲ）　　由（Ⅱ）得，                 9分

所以

，

又因為，所以不等式

可化簡為，

∵，∴原不等式               11分

由題意知，不等式的解集為，

因為函數在上單調遞增，

所以只要求 且即可，

解得．                 14分

考點：等比數列的性質；數列通項公式的求法；數列求和；數列的綜合應用；恒成立問題；指數函數的單調性。

點評：（1）解此題的關鍵是通過證明數列是等比數列，從而求出數列的通項公式。（2）解決恒成立問題常用的方法是分離參數法。